동적 계획법

분할정복 vs 동적 계획법

동적 계획법은 현재 문제를 부분문제로 나눈 뒤 현재 문제의 답을 구한다는 점에서 분할정복과 비슷하지만

분할 정복은 부분문제를 한번만 계산하게 되는 반면,

동적 계획법은 같은 부분문제를 여러 차례 계산한다.

따라서 중복적인 계산을 피하기 위해 메모이제이션 기법이 반드시 필요하며, 

두번 이상 계산되는 부분문제를 중복되는 부분문제 (overlapping subproblems) 라고 부른다.

(a)는 분할 정복 (b)는 동적 계획법

메모이제이션

입력 n과 r 이 정해져 있을 떄 bino(n, r) 의 반환값이 일정

∴ 한번 계산한 값을 저장해 뒀다가 재활용하는 최적화 기법을 사용해야 함

이와 같이 

두번이상 반복 계산되는 부분 문제들의 답을 미리 저장함으로써, 속도의 향상을 꾀하는 알고리즘 설계 기법을 동적 계획법이라고 한다.

메모이제이션 주의 할 점

최적화 동적 계획법 레시피

1. 모든 답을 만들어 보고 그 중 최적해의 점수를 반환하는 완전 탐색 알고리즘을 설계한다.
2. 전체의 값을 반환하는 것이 아니라, 앞으로 남은 선택들에 해당하는 값 만을 반환하도록 부분 문제 정의를 바꾼다.
3. 재귀 호출의 입력에 이전 선택에 관련된 정보가 있다면 꼭 필요한 것만 남기고 줄인다.
   문제가 최적 부분 구조에 성립할 경우에는 이전 선택에 관련된 정보를 완전히 없앨 수도 있다.
   입력의 정보가 줄어들면 줄어들수록 더 많은 부분 문제가 중복되고, 따라서 메모이제이션을 최대한 활용할 수 있다.
4. 입력이 배열이거나 문자열인경우 가능하다면 적절한 변환을 통해 메모이제이션을 이용할 수 있도록 한다.
5. 메모이제이션을 적용한다.

p. 175 ~ p. 205

분할 정복

1. 주어진 문제를 둘 이상의 부분문제로 나눈 뒤, (Divide)
2. 각 문제의 답을 재귀호출을 통해 계산 후 (Merge)
3. 각 답으로부터 원래 문제의 답을 계산하는 알고리즘 (Base case)

순수 재귀호출 방식과 다른 점

문제

쿼드 트리 뒤집기

울타리 잘라내기

회고

• 좌표가 주어지고 최소값을 구하는 문제는 BFS
• 원숭이처럼 이동하는 방법(무제한) + 말처럼 이동하는 방법(횟수 제한)
• visited[200][200][K] 체크
  • K는 말 처럼 이동한 횟수
  • 같은 x, y 에 도달했을 때, 말처럼 이동해 온 횟수가 다르면 다른 방법으로 간주하기 때문

풀이

https://www.acmicpc.net/problem/1600

문제

동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상구경을 하고 있다. 그 녀석은 말(Horse)이 되기를 간절히 원했다. 그래서 그는 말의 움직임을 유심히 살펴보고 그대로 따라 하기로 하였다. 말은 말이다. 말은 격자판에서 체스의 나이트와 같은 이동방식을 가진다. 다음 그림에 말의 이동방법이 나타나있다. x표시한 곳으로 말이 갈 수 있다는 뜻이다. 참고로 말은 장애물을 뛰어넘을 수 있다.

근데 원숭이는 한 가지 착각하고 있는 것이 있다. 말은 저렇게 움직일 수 있지만 원숭이는 능력이 부족해서 총 K번만 위와 같이 움직일 수 있고, 그 외에는 그냥 인접한 칸으로만 움직일 수 있다. 대각선 방향은 인접한 칸에 포함되지 않는다.

이제 원숭이는 머나먼 여행길을 떠난다. 격자판의 맨 왼쪽 위에서 시작해서 맨 오른쪽 아래까지 가야한다. 인접한 네 방향으로 한 번 움직이는 것, 말의 움직임으로 한 번 움직이는 것, 모두 한 번의 동작으로 친다. 격자판이 주어졌을 때, 원숭이가 최소한의 동작으로 시작지점에서 도착지점까지 갈 수 있는 방법을 알아내는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 자연수 K가 주어진다. 둘째 줄에 격자판의 가로길이 W, 세로길이 H가 주어진다. 그 다음 H줄에 걸쳐 W개의 숫자가 주어지는데, 0은 아무것도 없는 평지, 1은 장애물을 뜻한다. 장애물이 있는 곳으로는 이동할 수 없다. 시작점과 도착점은 항상 평지이다. W와 H는 1이상 200이하의 자연수이고, K는 0이상 30이하의 정수이다.

출력

첫째 줄에 원숭이의 동작수의 최솟값을 출력한다. 시작점에서 도착점까지 갈 수 없는 경우엔 -1을 출력한다.

예제 입력 1

1
4 4
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0

예제 출력 1

4

소스

회고

• 전형적인 dp 문제
• dp[i][j] = Min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
  • 규칙을 찾는것이 쉽지 않다.
  • 차근차근.. 하나씩 뜯어보자.

풀이

https://www.acmicpc.net/problem/1915

문제

n×m의 0, 1로 된 배열이 있다. 이 배열에서 1로 된 가장 큰 정사각형의 크기를 구하는 프로그램을 작성하시오.

위와 같은 예제에서는 가운데의 2×2 배열이 가장 큰 정사각형이다. 

입력

첫째 줄에 n, m(1 ≤ n, m ≤ 1,000)이 주어진다. 다음 n개의 줄에는 m개의 숫자로 배열이 주어진다.

출력

첫째 줄에 가장 큰 정사각형의 넓이를 출력한다.

예제 입력 1

4 4
0100
0111
1110
0010

예제 출력 1

4

소스

회고

• Integer.MAX_VALUE 때문에 틀린 문제. 쓰지 말자.
• 최대값을 알아내어 int MAX = 987654321; 이렇게 선언하고 쓰자.
• 유명한 외판원 순환 문제 (TSP)
  • 자신으로 돌아오는 문제이므로
  • 1 →                 → 1
    • 2, 3, 4
    • 2, 4, 3
    • 3, 2, 4
    • 3, 4, 2
    • 4, 2, 3
    • 4, 3, 2
• 따라서, 1부터 시작해서 DFS 로 돌면 된다.
• N이 최대 16이므로 메모이제이션이 필요한데,
• dfs (현재 노드, 현재까지 방문한 노드들) 이므로
• memo[N][1<<16] 비트마스크로 현재까지 방문 노드들 알아내야 함

풀이

https://www.acmicpc.net/problem/2098

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

예제 입력 1

4
0 10 15 20
5  0  9 10
6 13  0 12
8  8  9  0

예제 입력 2

35

소스

회고

• map 이 주어지고, 이동을 해야 하는데 이동 횟수(depth) 제한이 없으면 BFS로 풀어야 함
  • 두 죄수의 이동 경로만을 생각하고 DFS로 풀기엔 depth 제한이 없다. 헐 
  • depth 제한이 없으면, BFS로 생각해보자.
• 생각의 틀을 깬 방식
  1. 죄수1 이 밖으로 나가는데 열어야 할 문의 최소 횟수
  2. 죄수2 가 밖으로 나가는데 열어야 할 문의 최소 횟수
  3. 조력자가 안으로 들어가기 위해 열어야 할 문의 최소 횟수
• 1, 2, 3 을 동시에 구하여 합이 최소인 경우가 답

  • 
    

풀이

https://www.acmicpc.net/problem/9376

문제

상근이는 감옥에서 죄수 두 명을 탈옥시켜야 한다. 이 감옥은 1층짜리 건물이고, 상근이는 방금 평면도를 얻었다.

평면도에는 모든 벽과 문이 나타나있고, 탈옥시켜야 하는 죄수의 위치도 나타나 있다. 감옥은 무인 감옥으로 죄수 두 명이 감옥에 있는 유일한 사람이다.

문은 중앙 제어실에서만 열 수 있다. 상근이는 특별한 기술을 이용해 제어실을 통하지 않고 문을 열려고 한다. 하지만, 문을 열려면 시간이 매우 많이 걸린다. 두 죄수를 탈옥시키기 위해서 열어야 하는 문의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수가 주어진다. 테스트 케이스의 수는 100개를 넘지 않는다.

첫째 줄에는 평면도의 높이 h와 너비 w가 주어진다. (2 ≤ h, w ≤ 100) 다음 h개 줄에는 감옥의 평면도 정보가 주어지며, 빈 공간은 '.', 지나갈 수 없는 벽은 '*', 문은 '#', 죄수의 위치는 '$'이다.

상근이는 감옥 밖을 자유롭게 이동할 수 있고, 평면도에 표시된 죄수의 수는 항상 두 명이다. 각 죄수와 감옥의 바깥을 연결하는 경로가 항상 존재하는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

각 테스트 케이스마다 두 죄수를 탈옥시키기 위해서 열어야 하는 문의 최솟값을 출력한다.